यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि
इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
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[tex]\huge\underline\frak{\fbox{Question :-}}[/tex]
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
[tex]\huge\underline\frak{\fbox{AnSwEr :-}}[/tex][tex]<font \: color=purple >[/tex]
माना x कोई धन पूर्णाक है, तब यह 3q,3q+ 1 या 3q+2 के रूप में होगा, हमकों सिद्ध करना है कि प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,
[tex]\longrightarrow[/tex] (3q)² = 9q = 3 (3q²),
जहाँ
[tex]\longrightarrow[/tex] m = 3q²
[tex]\longrightarrow[/tex](3q+ 1)²
[tex]\longrightarrow[/tex] 9q²+ 61 +1
[tex]\longrightarrow[/tex] 3 (3q² + 2q) + 1|
[tex]\longrightarrow[/tex] 3m + 1,
जहाँ
[tex]\longrightarrow[/tex] m = 3q²+ 2q²
तथा,
[tex]\longrightarrow[/tex] (3q+ 2)² = 9q² + 12q+4
[tex]\longrightarrow[/tex] 3 (3q²+4q+1)+1
[tex]\longrightarrow[/tex] 3m + 1,
जहाँ
[tex]\longrightarrow[/tex] m=3q²+ 4q+1