solve this Matrix sum
Share
Sign Up to our social questions and Answers Engine to ask questions, answer people’s questions, and connect with other people.
Login to our social questions & Answers Engine to ask questions answer people’s questions & connect with other people.
Correct Question:
If
[tex]\displaystyle{\sf\:A\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\sf\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
show that ( A + B ) ( A - B ) ≠ A² - B².
Answer:
[tex]\displaystyle{\boxed{\red{\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:\neq\:A^2\:-\:B^2\:}}}[/tex]
Step-by-step-explanation:
The given matrices are
[tex]\displaystyle{\sf\:A\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\sf\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
Now,
[tex]\displaystyle{\sf\:A\:+\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]\:+\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A\:+\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3\:+\:2 & \sf\:-4\:+\:1\\\sf\:4\:+\:1 & \sf\:3\:+\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\:\boxed{\blue{\sf\:A\:+\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5 & \sf\:-3\\\sf\:5 & \sf\:5\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Now,
[tex]\displaystyle{\sf\:A\:-\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]\:-\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A\:-\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3\:-\:2 & \sf\:-4\:-\:1\\\sf\:4\:-\:1 & \sf\:3\:-\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\:\boxed{\green{\sf\:A\:+\:B\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:1 & \sf\:-5\\\sf\:3 & \sf\:1\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Now,
[tex]\displaystyle{\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5 & \sf\:-3\\\sf\:5 & \sf\:5\:\end{array}\right]\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:1 & \sf\:-5\\\sf\:3 & \sf\:1\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5\:\times\:1\:+\:(\:-3\:)\:3 & \sf\:5\:(\:-\:5)\:+\:(\:-\:3\:)\:1\\\sf\:5\:\times\:1\:+\:5\:\times\:3 & \sf\:5\:\times\:(-5)\:+\:5\:\times\:1\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5\:-\:9 & \sf\:-\:25\:-\:3\\\sf\:5\:+\:15 & \sf\:-25\:+\:5\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\:\boxed{\pink{\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:-\:28\\\sf\:20 & \sf\:-\:20\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Now, we have to find A² - B².
[tex]\displaystyle{\sf\:A^2\:=\:A\:A}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:-4\\\sf\:4 & \sf\:3\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:3\:\times\:3\:+\:(-4)\:4 & \sf\:-4\:\times\:3\:+\:(\:-\:4\:)\:3\\\sf\:4\:\times\:3\:+\:3\:\times\:4 & \sf\:4\:(\:-\:4\:)\:+\:3\:\times\:3\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:9\:-\:16 & \sf\:-12\:-\:12\\\sf\:12\:+\:12 & \sf\:-\:16\:+\:9\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\:\boxed{\purple{\sf\:A^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:-\:7 & \sf\:-\:24\\\sf\:24 & \sf\:-\:7\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Now,
[tex]\displaystyle{\sf\:B^2\:=\:B\:B}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2 & \sf\:1\\\sf\:1 & \sf\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:2\:\times\:2\:+\:1\:\times\:1 & \sf\:2\:\times\:1\:+\:(\:1\:)\:2\\\sf\:1\:\times\:2\:+\:2\:\times\:1 & \sf\:1\:(\:1\:)\:+\:2\:\times\:2\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:4\:+\:1 & \sf\:2\:+\:2\\\sf\:2\:+\:2 & \sf\:1\:+\:4\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\boxed{\orange{\sf\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5 & \sf\:4\\\sf\:4 & \sf\:5\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Now,
[tex]\displaystyle{\sf\:A^2\:-\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:-\:7 & \sf\:-\:24\\\sf\:24 & \sf\:-\:7\:\end{array}\right]\:-\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:5 & \sf\:4\\\sf\:4 & \sf\:5\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:-\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:-\:7\:-\:5 & \sf\:-\:24\:-\:4\\\sf\:24\:-\:4 & \sf\:-\:7\:-\:5\:\end{array}\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\implies\:\boxed{\pink{\sf\:A^2\:-\:B^2\:=\:\left[\:\begin{array}{cc}\sf\:-\:12 & \sf\:-\:28\\\sf\:20 & \sf\:-\:12\:\end{array}\right]}}}[/tex]
Hence it is shown that
[tex]\displaystyle{\boxed{\red{\sf\:(\:A\:+\:B\:)\:(\:A\:-\:B\:)\:\neq\:A^2\:-\:B^2\:}}}[/tex]